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若S为凸集，则S中任意两点的连线也在S中 。
简单地说 ，没有空洞和凹入部分的集合叫做凸集 。
任意两点的连线部分（包括这两个点）叫做这两个点的凸组合 ，不包括这两个点叫做严格凸组合。
凸集的 性质 ：凸集的并集 、加减法 、数乘，仍是凸集 。
凸集的 例子 ：欧式空间 ，超平面 ，半空间（被一个超平面分割的空间），多面集（凸多面体） ，多面锥 ，等 。
引入概念： 极点 ，不能被表示为两个不同点的凸组合的点 ，比如凸多边形的角上的点。
极点可以表示有界闭凸集 ，或者说，有界闭凸集中任意一点可表示为极点的凸组合 。
那无界呢？引入概念： 方向 ，一个方向的向量 ，使得S中任意一点x为端点 ，以此方向射出的射线仍在S内 。引入概念： 极方向 ，不能被表示为S中两个不同方向的 正 组合的方向。由于这个“正”字 ，类似极点的性质 ，极方向大概是所有方向中的极端位置，比如扇形的两侧边界 。
S的其他方向都能表示为极方向的正线性组合 。
有了极点和极方向的概念 ，可引出 表示定理 ：若S为非空多面集 ，则存在有限个极点，有限个极方向（若S有界则为0个） ，点x属于S等价于x可表示为极点和极方向的正组合。
凸集分离定理是凸集的一个重要性质 。按如下思路由易到难证明：
1.（投影定理）若S为Rn中的闭凸集 ，y不属于S，则存在唯一的一点x属于S ，x为点集S距离点y最近的点 ，称为y在S上的投影 。
2.（点与凸集分离定理）对任意S中的点z（除x以外），（x-z）与（x-y）夹角为钝角，即内积小于0。由此 ，可用一个超平面将S与y隔开。
3.（凸集分离定理）S1和S2为Rn中两个非空凸集 ，交集为空，则存在一个超平面将S1和S2分隔开 。
应用：使用其推论Farkas定理、Gordan定理等都可把证明无解的问题转化为证明有解的问题 ， 以“有解 ”证“无解 ” 。
Farkas定理 ：设A为m*n矩阵 ，c为n维向量，则Ax<=0 ，c'x>0有解的充要条件是A'y=c,y>=0无解。
Gordan定理 ：设A为m*n矩阵 ，则Ax<0，有解的充要条件是不存在非零向量y>=0 ，使A'y=0 。
定义：任意两个自变量x1x2 ，任意x在x1x2之间，则有f(x1)f(x2)连线在f(x)上方 。
凸函数的加法 、数乘仍是凸函数。
若S是非空凸集 ，f是定义在S上的凸函数 ，a是一个实数，则集合S2 = {x|x∈S，f(x)≤a}是凸集 。
若S是非空凸集 ，f是定义在S上的凸函数 ，则f在S上的局部极小点（在其某邻域内最小）是全局极小点，且极小点的集合是凸集 。
虽然凸函数具有非常良好的性质 ，但相应的 ，凸函数的判别是非常困难的。据研究，多项式的凸函数判别是个NPhard问题 。在此给出一阶条件和二阶条件：
一阶条件：若S式Rn上非空凸集 ，f在S上可微 ，f是凸函数等价于任意点函数值大于等于函数在这一点的一阶（切线）近似 。
二阶条件：若S式Rn上非空凸集，f在S上二次可微 ，f是凸函数等价于任意点处Hesse矩阵半正定。
一般来说 ，二阶条件的使用更加简单 。
最优化模型中，若可行域S是凸集 ，目标函数f是凸函数 ，则称为凸规划 。
例如：无约束优化，线性规划等
凸规划性质优秀，求解简单稳定 ，是非常理想的模型。
凸集是数学中的一个重要概念 ，它主要涉及到集合论和拓扑学。在实数空间Rn中，一个集合如果对于任意两点 ，这两点连线上的点也在该集合内 ，则称这个集合为凸集 。
凸集有很多重要的性质和应用 。首先，凸集的边界是一个闭集。其次 ，凸集的交集仍然是凸集 。此外 ，如果一个函数在其定义域上是连续的，并且其定义域是一个凸集 ，那么这个函数的图像也是一个凸集 。
在最优化理论中 ，凸集有着重要的应用。许多最优化问题都可以转化为在凸集上寻找最优解的问题 。这是因为在凸集上，任何两点之间的线段都完全位于集合内部 ，这使得我们可以使用一些简单的几何方法来求解最优化问题 。
在经济学中 ，凸集也有广泛的应用。例如，在消费者理论中，消费者的预算约束可以表示为一个凸集 。在生产理论中 ，生产者的生产可能性边界也可以表示为一个凸集 。
在计算机科学中 ，凸集也有着重要的应用。例如，在机器学习中 ，支持向量机（SVM）就是一种基于凸优化问题的分类器 。在信号处理中 ，傅里叶变换的输入信号通常需要满足一定的条件，这些条件往往可以通过将输入信号限制在一个凸集中来实现 。
总的来说 ，凸集是一个非常基础且重要的数学概念 ，它在许多领域都有着广泛的应用。
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